viernes, 6 de mayo de 2011
Informacion
Información tomada del libro Analisis Cuantitativo con WIN QSB por: Victor Manuel Quesada Ibarguen y juan Carlos Vergara Schmalbach
jueves, 5 de mayo de 2011
JUEGOS DE SUMA CERO
La teoría de juegos se ocupa de las situaciones de competencia en las que los
competidores deben adoptar decisiones contando con la disponibilidad de unas
estrategias cada uno de ellos, las que por cierto son conocidas por ambos.
Cuando en un juego las ganancias de un competidor son pérdidas para el otro, se dice que el juego es de suma cero, cual es el caso que nos ocupa.
Si las estrategias son tales que los intereses de los dos competidores se centran
en un mismo valor de la matriz de pagos, el juego tendrá un “punto de silla” o
equilibrio y esa cantidad constituye el valor del juego. Se dice entonces que los
competidores usan estrategias puras, lo que significa que cada competidor tendrá una estrategia que usará el 100% del tiempo. En cambio cuando no se da esta
situación los competidores distribuyen su tiempo de juego entre varias estrategias;
se habla así de estrategias mixtas.
A continuación se plantean estos dos casos y la forma de introducir los datos en el
WINQSB y hallar la solución.
Supóngase dos competidores bajo la situación que se plantea en la matriz de
pagos siguiente:
El competidor ubicado a la izquierda de la matriz es el maximizante y el de la parte superior es el minimizante.
Introduzcamos los datos en el WINQSB.
La solución:
De la tabla solución podemos observar que la estrategia 1-1 (estrategia 1 del
competidor 1) es dominada por la estrategia 1-2 y la 2-1 es dominada por la 2-2,
con lo que sólo queda un valor de la matriz (80). Así pues, se alcanza un punto de silla con lo que la estrategia pura para el jugador 1 es la 1-2 y para el competidor 2 es la 2-2. El valor del juego es 80, a favor del competidor 1.
Ejemplo de estrategias mixtas:
Como puede apreciarse en el tablero de la solución, al no existir punto de silla los
competidores reparten su tiempo de juego así:
El competidor uno jugará su estrategia 1 el 40% del tiempo, la 2 el 40% del tiempo y no jugará su estrategia 3. El competidor dos jugará la estrategia 1 el 80% del
tiempo y su estrategia 2 el 20 %.
competidores deben adoptar decisiones contando con la disponibilidad de unas
estrategias cada uno de ellos, las que por cierto son conocidas por ambos.
Cuando en un juego las ganancias de un competidor son pérdidas para el otro, se dice que el juego es de suma cero, cual es el caso que nos ocupa.
Si las estrategias son tales que los intereses de los dos competidores se centran
en un mismo valor de la matriz de pagos, el juego tendrá un “punto de silla” o
equilibrio y esa cantidad constituye el valor del juego. Se dice entonces que los
competidores usan estrategias puras, lo que significa que cada competidor tendrá una estrategia que usará el 100% del tiempo. En cambio cuando no se da esta
situación los competidores distribuyen su tiempo de juego entre varias estrategias;
se habla así de estrategias mixtas.
A continuación se plantean estos dos casos y la forma de introducir los datos en el
WINQSB y hallar la solución.
Supóngase dos competidores bajo la situación que se plantea en la matriz de
pagos siguiente:
El competidor ubicado a la izquierda de la matriz es el maximizante y el de la parte superior es el minimizante.
Introduzcamos los datos en el WINQSB.
La solución:
De la tabla solución podemos observar que la estrategia 1-1 (estrategia 1 del
competidor 1) es dominada por la estrategia 1-2 y la 2-1 es dominada por la 2-2,
con lo que sólo queda un valor de la matriz (80). Así pues, se alcanza un punto de silla con lo que la estrategia pura para el jugador 1 es la 1-2 y para el competidor 2 es la 2-2. El valor del juego es 80, a favor del competidor 1.
Ejemplo de estrategias mixtas:
Como puede apreciarse en el tablero de la solución, al no existir punto de silla los
competidores reparten su tiempo de juego así:
El competidor uno jugará su estrategia 1 el 40% del tiempo, la 2 el 40% del tiempo y no jugará su estrategia 3. El competidor dos jugará la estrategia 1 el 80% del
tiempo y su estrategia 2 el 20 %.
ÁRBOL DE DECISIÓN
Con el siguiente ejemplo expondremos un caso para la construcción y análisis de
árboles de decisiones.
Ejemplo 8-2:
Se lanzan tres monedas al tiempo. El jugador gana si las tres monedas caen
cara, pierde en caso de que se de un suceso contrario. El jugador invierte por
jugada $100 y si gana recibe $5.000. ¿Es conveniente participar en el juego?
Para solucionar el problema debemos tener en cuenta un diagrama de árbol que
represente los sucesos:
WINQSB maneja dos tipos de nodos: Nodos de decisión (decision node) y
Nodos de oportunidad (chance node), Los segundos trabajan con condiciones
de incertidumbre, mientras que los primeros son dispuestos por el usuario.
En este caso, los eventos están dispuestos por nodos tipo oportunidad sujetos a
una probabilidad del 0.50 de que ocurra cada uno de forma independiente (de que
salga cara o sello).
En la ventana Especificaciones del problema (Problem Specification)
digitamos la cantidad de nodos que componen el árbol:
Los datos introducidos en la plantilla deberán quedar como sigue:
La primera columna indica el consecutivo de los eventos. La segunda columna
corresponde al nombre del nodo (se indico con la secuencia de sucesos para
facilitar su identificación, por ejemplo, el nodo CCC significa que los nodos
anteriores equivalen a dos caras consecutivas). Para indicar el tipo de nodo
solamente marcamos con la letra “C” para un nodo tipo oportunidad.
Para mostrar la secuencia en la columna Nodo siguiente inmediato (Inmediate
Following Node). Los nodos terminales se identifican claramente por no tener
sucesores.
Las ganancias y pérdidas ocurren con el resultado de la última moneda (nodos
terminales). Para el nodo CCC (sucede cuando las tres caras caen) corresponde
a un ingreso de $5.000 (el jugador gana). Los demás nodos terminales producen
una perdida de $100. La probabilidad de cada evento es del 0.50, indicado en la
última columna (excepto para el nodo inicio).
Podremos ver un modelo gráfico del árbol pulsando sobre la opción Dibujar árbol
de decisión (Draw Decision Tree) en el menú Resolver y analizar (Solve and
Analyze).
El árbol completo quedaría:
Al pulsar sobre en Resolver el problema (Solve the Problem) tenemos un
cuadro resumen con los resultados del análisis:
El ingreso esperado (Value Expected) se muestra al final, equivalente a un valor
de $537,50. El cálculo se realiza así:
E(X) = $5.000 (0.125) - $100 (0.125) x 7 = 625,0 - 87,5 = 537,5
La respuesta al problema es que según la esperanza positiva, es conveniente
participar en el juego ya que la ganancia esperada supera a la inversión en el
tiempo.
árboles de decisiones.
Ejemplo 8-2:
Se lanzan tres monedas al tiempo. El jugador gana si las tres monedas caen
cara, pierde en caso de que se de un suceso contrario. El jugador invierte por
jugada $100 y si gana recibe $5.000. ¿Es conveniente participar en el juego?
Para solucionar el problema debemos tener en cuenta un diagrama de árbol que
represente los sucesos:
WINQSB maneja dos tipos de nodos: Nodos de decisión (decision node) y
Nodos de oportunidad (chance node), Los segundos trabajan con condiciones
de incertidumbre, mientras que los primeros son dispuestos por el usuario.
En este caso, los eventos están dispuestos por nodos tipo oportunidad sujetos a
una probabilidad del 0.50 de que ocurra cada uno de forma independiente (de que
salga cara o sello).
En la ventana Especificaciones del problema (Problem Specification)
digitamos la cantidad de nodos que componen el árbol:
Los datos introducidos en la plantilla deberán quedar como sigue:
La primera columna indica el consecutivo de los eventos. La segunda columna
corresponde al nombre del nodo (se indico con la secuencia de sucesos para
facilitar su identificación, por ejemplo, el nodo CCC significa que los nodos
anteriores equivalen a dos caras consecutivas). Para indicar el tipo de nodo
solamente marcamos con la letra “C” para un nodo tipo oportunidad.
Para mostrar la secuencia en la columna Nodo siguiente inmediato (Inmediate
Following Node). Los nodos terminales se identifican claramente por no tener
sucesores.
Las ganancias y pérdidas ocurren con el resultado de la última moneda (nodos
terminales). Para el nodo CCC (sucede cuando las tres caras caen) corresponde
a un ingreso de $5.000 (el jugador gana). Los demás nodos terminales producen
una perdida de $100. La probabilidad de cada evento es del 0.50, indicado en la
última columna (excepto para el nodo inicio).
Podremos ver un modelo gráfico del árbol pulsando sobre la opción Dibujar árbol
de decisión (Draw Decision Tree) en el menú Resolver y analizar (Solve and
Analyze).
El árbol completo quedaría:
Al pulsar sobre en Resolver el problema (Solve the Problem) tenemos un
cuadro resumen con los resultados del análisis:
El ingreso esperado (Value Expected) se muestra al final, equivalente a un valor
de $537,50. El cálculo se realiza así:
E(X) = $5.000 (0.125) - $100 (0.125) x 7 = 625,0 - 87,5 = 537,5
La respuesta al problema es que según la esperanza positiva, es conveniente
participar en el juego ya que la ganancia esperada supera a la inversión en el
tiempo.
ANÁLISIS BAYESIANO
Mediante un ejemplo demostraremos como se introducen los datos para la
creación de una aplicación de análisis bayesiano.
En la ventana Especificaciones del problema (Problem Specification)
procedemos a ingresar los datos básicos para la solución del problema:
En el apartado Número de estados naturales (Number of the States of Nature)
colocaremos la cantidad de urnas existentes, mientras que en el campo Número
de resultados (Number of Survey Outcomes) escribiremos los tipos de canicas
(tres en total: azul, negra y roja).
Al pulsar OK aparecerá una tabla en la cual podremos ingresar las probabilidades
individuales, tanto para las urnas como las canicas que tienen dentro.
Para mejorar el aspecto de la tabla y evitar posibles equivocaciones en la
interpretación de los datos, cambiaremos los campos de la tabla por los trabajados
en el ejercicio. Empezaremos modificando los States por los nombre de las urnas
correspondientes, para lo cual, en el menú Editar (Edit) elegiremos la opción
Nombres de los estados naturales (State of Nature Name).
La ventana con los nombres modificados debe quedar así:
Para cambiar los Indicators por los correspondientes colores de las canicas
haremos el mismo procedimiento solo que esta vez, seleccionaremos la opción
Nombre del indicador (Survey Outcomes/Indicator Name)
Al pulsar OK regresaremos a la ventana inicial, la cual debería quedar como la
siguiente:
Para poder resolver el problema deberemos pasar primero los datos del ejercicio a
las probabilidades:
• De elegir una urna de forma aleatoria (probabilidad anterior)
• De seleccionar una canica dentro de la urna
La tabla resumen quedaría:
Ingresemos ahora los datos a la tabla del WINQSB:
Para resolver el problema simplemente pulsamos en Resolver el problema
(Solve the Problem) en el menú Resolver y analizar (Solve and Analyze).
La tabla generada muestra los resultados de las probabilidades condicionales.
En este caso la probabilidad de que al haber seleccionado la urna 3 se saque una
balota roja es de 5,88%.
Para activar el modo gráfico pulsamos sobre Mostrar gráfico del árbol de
decisión (Show Decision Tree Graph).
Gráficamente tenemos:
creación de una aplicación de análisis bayesiano.
En la ventana Especificaciones del problema (Problem Specification)
procedemos a ingresar los datos básicos para la solución del problema:
En el apartado Número de estados naturales (Number of the States of Nature)
colocaremos la cantidad de urnas existentes, mientras que en el campo Número
de resultados (Number of Survey Outcomes) escribiremos los tipos de canicas
(tres en total: azul, negra y roja).
Al pulsar OK aparecerá una tabla en la cual podremos ingresar las probabilidades
individuales, tanto para las urnas como las canicas que tienen dentro.
Para mejorar el aspecto de la tabla y evitar posibles equivocaciones en la
interpretación de los datos, cambiaremos los campos de la tabla por los trabajados
en el ejercicio. Empezaremos modificando los States por los nombre de las urnas
correspondientes, para lo cual, en el menú Editar (Edit) elegiremos la opción
Nombres de los estados naturales (State of Nature Name).
La ventana con los nombres modificados debe quedar así:
Para cambiar los Indicators por los correspondientes colores de las canicas
haremos el mismo procedimiento solo que esta vez, seleccionaremos la opción
Nombre del indicador (Survey Outcomes/Indicator Name)
Al pulsar OK regresaremos a la ventana inicial, la cual debería quedar como la
siguiente:
Para poder resolver el problema deberemos pasar primero los datos del ejercicio a
las probabilidades:
• De elegir una urna de forma aleatoria (probabilidad anterior)
• De seleccionar una canica dentro de la urna
La tabla resumen quedaría:
Ingresemos ahora los datos a la tabla del WINQSB:
Para resolver el problema simplemente pulsamos en Resolver el problema
(Solve the Problem) en el menú Resolver y analizar (Solve and Analyze).
La tabla generada muestra los resultados de las probabilidades condicionales.
En este caso la probabilidad de que al haber seleccionado la urna 3 se saque una
balota roja es de 5,88%.
Para activar el modo gráfico pulsamos sobre Mostrar gráfico del árbol de
decisión (Show Decision Tree Graph).
Gráficamente tenemos:
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